實際計算雲端發票專屬獎期望值

 112 年 11-12 月 到 114 年 7-8 月 發票張數

104

105

98

103

83

89

81

84

101

77

86

共中專屬獎500兩張 請算出期望值

我的總張數1011 張 中 1000塊 所以是一元

單張期望值多少 中獎率多少

ChatGPT 說：

我們可以來仔細算一下 單張統一發票的期望值（EV）與中獎率，以最新這期號碼為例（假設一張發票 20 元）：

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1️⃣ 中獎機率

統一發票的中獎規則如下（以最新期號為例）：

獎項	中獎條件	獎金	中獎組數
特別獎	全8碼相同	1,000萬元	1組
特獎	全8碼相同	200萬元	1組
頭獎	全8碼相同	20萬元	3組
二獎	頭獎末7碼相同	4萬元	3組
三獎	頭獎末6碼相同	1萬元	3組
四獎	頭獎末5碼相同	4,000元	3組
五獎	頭獎末4碼相同	1,000元	3組
六獎	頭獎末3碼相同	200元	3組
增開六獎	指定3碼	200元	2組

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計算中獎機率

發票號碼是 8位數字，每位數字獨立且均勻（0~9）。所以：

1. 特別獎：1/100,000,000

2. 特獎：1/100,000,000

3. 頭獎：3 / 100,000,000 = 3e-8

4. 二獎：3 / 10,000,000 = 3e-7

5. 三獎：3 / 1,000,000 = 3e-6

6. 四獎：3 / 100,000 = 3e-5

7. 五獎：3 / 10,000 = 3e-4

8. 六獎：3 / 1,000 = 0.003

9. 增開六獎：2 / 1,000 = 0.002

總中獎率 ≈ 0.003 + 0.002 + 0.0003 + 0.00003 + 0.000003 + 0.0000003 + 3e-8 + 3e-8 ≈ 0.00533 ≈ 0.533%

也就是約 每200張發票中1張會中獎。

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2️⃣ 單張期望值（EV）

期望值公式：

$$EV = \sum (\text{中獎金額} \times \text{中獎機率})$$

代入：

• 特別獎：10,000,000 × 1/100,000,000 = 0.1

• 特獎：2,000,000 × 1/100,000,000 = 0.02

• 頭獎：200,000 × 3/100,000,000 = 0.006

• 二獎：40,000 × 3/10,000,000 = 0.012

• 三獎：10,000 × 3/1,000,000 = 0.03

• 四獎：4,000 × 3/100,000 = 0.12

• 五獎：1,000 × 3/10,000 = 0.3

• 六獎：200 × 3/1,000 = 0.6

• 增開六獎：200 × 2/1,000 = 0.4

總期望值 = 0.1 + 0.02 + 0.006 + 0.012 + 0.03 + 0.12 + 0.3 + 0.6 + 0.4 = 1.588 元

也就是 平均每張發票投入 20 元，期望回收約 1.59 元，約 8% 的回收率，非常低。

所以總和約2.6元