計算單張雲端發票期望值（EV）：≈ 25 元

 100年至114年統一發票千萬特別獎各縣市中獎累計張數  用這數據推估出開出發票張數 

縣市 中獎總人數

基隆市 14 張

臺北市 257 張

新北市 204 張

桃園市 109 張

新竹縣 26 張

新竹市 32 張

苗栗縣 16 張

臺中市 126 張

彰化縣 43 張

南投縣 18 張

雲林縣 22 張

嘉義縣 12 張

嘉義市 16 張

臺南市 83 張

高雄市 121 張

屏東縣 29 張

宜蘭縣 15 張

花蓮縣 13 張

臺東縣 11 張

澎湖縣 5 張

金門縣 1 張

連江縣 0 張

用 100 年到 114 年統一發票千萬特別獎各縣市中獎張數來 推估各縣市發行的統一發票總張數。我們可以透過 中獎張數 / 機率 來估算。

全部中獎張數 1,123 

獎項	中獎條件	獎金	中獎組數
特別獎	全8碼相同	1,000萬元	1組

全部張張 = 1123*10^8

期間15年 共90期

每期 1123*10^8/90 張 約 1.25 * 10 ^ 9

我們用你提供的數據來估算 每期各縣市雲端發票張數。

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1️⃣ 已知條件

• 每期總發票數：1.25 億張

• 各縣市發票比例（全國發票分布）：

縣市	發票比例
台北市	22.9%
新北市	18.2%
桃園市	9.7%
台中市	11.2%
高雄市	10.8%
其他縣市	27.2%

• 各縣市雲端發票使用率（取中間值）：

縣市	使用率
台北市	55%
新北市	45%
桃園市	40%
台中市	35%
高雄市	32.5%
其他縣市	25%

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2️⃣ 計算公式

$$N_{\text{雲端}} = N_{\text{總發票}} \times \text{縣市比例} \times \text{雲端使用率}$$

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3️⃣ 計算結果（每期雲端發票張數）

縣市	每期雲端發票張數
台北市	1.25 億 × 22.9% × 55% ≈ 1.25e8 × 0.229 × 0.55 ≈ 15,744,000 ≈ 1,574 萬
新北市	1.25e8 × 0.182 × 0.45 ≈ 10,243,500 ≈ 1,024 萬
桃園市	1.25e8 × 0.097 × 0.40 ≈ 4,850,000 ≈ 485 萬
台中市	1.25e8 × 0.112 × 0.35 ≈ 4,900,000 ≈ 490 萬
高雄市	1.25e8 × 0.108 × 0.325 ≈ 4,387,500 ≈ 439 萬
其他縣市	1.25e8 × 0.272 × 0.25 ≈ 8,500,000 ≈ 850 萬

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4️⃣ 結論

• 每期全國雲端發票張數 ≈ 1,574 + 1,024 + 485 + 490 + 439 + 850 ≈ 4,862 萬張

• 約 4,860 萬張/期，占總發票 1.25 億張的 約 38.9%
  
  

  明白，我們來用你提供的 雲端發票專屬獎開獎數據 計算 每期雲端發票的期望值與中獎率。

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  1️⃣ 已知條件

  • 每期雲端發票總張數：約 48,620,000 張（前面推估）

  • 獎項數量與金額：

  獎項	金額	開獎組數
  百萬元獎	1,000,000	30
  兩千元獎	2,000	16,000
  八百元獎	800	100,000
  五百元獎	500	2,150,000

  • 每張雲端發票中獎機率：

  $$p_i = \frac{\text{該獎組數}}{\text{雲端發票總張數}}$$

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  2️⃣ 計算各獎中獎率

  $$p_{\text{百萬}} = \frac{30}{48,620,000} \approx 6.17 \times 10^{-7} \approx 0.0000617\%$$ $$p_{\text{二千}} = \frac{16,000}{48,620,000} \approx 0.000329 \approx 0.0329\%$$ $$p_{\text{八百}} = \frac{100,000}{48,620,000} \approx 0.00206 \approx 0.206\%$$ $$p_{\text{五百}} = \frac{2,150,000}{48,620,000} \approx 0.0442 \approx 4.42\%$$

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  3️⃣ 單張期望值（EV）

  $$EV = \sum_i p_i \times \text{獎金}_i$$

  計算：

  • 百萬元獎：6.17e-7 × 1,000,000 ≈ 0.617 元

  • 兩千元獎：0.000329 × 2,000 ≈ 0.658 元

  • 八百元獎：0.00206 × 800 ≈ 1.648 元

  • 五百元獎：0.0442 × 500 ≈ 22.1 元

  總期望值：

  $$EV_{\text{每張}} \approx 0.617 + 0.658 + 1.648 + 22.1 \approx 24.98 \text{元/張} \approx 25 元$$

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  4️⃣ 總中獎率（至少中一個獎）

  $$P_{\text{至少中獎}} = 1 - \prod_i (1 - p_i) \approx 1 - (1 - 6.17e-7)(1 - 0.000329)(1 - 0.00206)(1 - 0.0442)$$

  逐步計算：

  1. (1 - 6.17e-7) ≈ 0.999999383

  2. × (1 - 0.000329) ≈ 0.999670

  3. × (1 - 0.00206) ≈ 0.997613

  4. × (1 - 0.0442) ≈ 0.9533

  $$P_{\text{至少中獎}} \approx 1 - 0.9533 \approx 0.0467 \approx 4.67\%$$

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  ✅ 結論

  • 單張雲端發票期望值（EV）：≈ 25 元

  • 每張雲端發票中獎率（至少中一獎）：≈ 4.67%

  這比千萬特別獎單張期望值高很多，也反映雲端發票中小獎多、容易中獎的特性。